\(\int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx\) [51]

Optimal result

Integrand size = 12, antiderivative size = 239 \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\frac {x}{a^4}+\frac {b \left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {a+b \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^{7/2} d}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))} \]

[Out]

x/a^4+b*(8*a^6-8*a^4*b^2+7*a^2*b^4-2*b^6)*arctanh((a+b*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(a^2-b^2)^(1/2))/a^4/(a^2-b^2)^(7/2
)/d-1/3*b^2*cot(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*csc(d*x+c))^3-1/6*b^2*(8*a^2-3*b^2)*cot(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+
b*csc(d*x+c))^2-1/6*b^2*(26*a^4-17*a^2*b^2+6*b^4)*cot(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*csc(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 0.59 (sec) , antiderivative size = 239, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.583, Rules used = {3870, 4145, 4004, 3916, 2739, 632, 212} \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\frac {x}{a^4}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \csc (c+d x))^3}+\frac {b \left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {a+b \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{a^4 d \left (a^2-b^2\right )^{7/2}}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \csc (c+d x))} \]

[In]

Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(-4),x]

[Out]

x/a^4 + (b*(8*a^6 - 8*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - 2*b^6)*ArcTanh[(a + b*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^4*(a^
2 - b^2)^(7/2)*d) - (b^2*Cot[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Csc[c + d*x])^3) - (b^2*(8*a^2 - 3*b^2)*Cot[c
+ d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Csc[c + d*x])^2) - (b^2*(26*a^4 - 17*a^2*b^2 + 6*b^4)*Cot[c + d*x])/(6*
a^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Csc[c + d*x]))

Rule 212

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]))*ArcTanh[Rt[-b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 632

Int[((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/Simp[b^2 - 4*a*c - x^2, x], x]
, x, b + 2*c*x], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 2739

Int[((a_) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x]}, Dis
t[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + 2*b*e*x + a*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &&
NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3870

Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[b^2*Cot[c + d*x]*((a + b*Csc[c + d*x])^(n +
1)/(a*d*(n + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(n + 1)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Csc[c + d*x])^(n + 1)*Simp[(a^
2 - b^2)*(n + 1) - a*b*(n + 1)*Csc[c + d*x] + b^2*(n + 2)*Csc[c + d*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*n]

Rule 3916

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a/b)*Si
n[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4004

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[c*(x/a),
x] - Dist[(b*c - a*d)/a, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
b*c - a*d, 0]

Rule 4145

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) +
(a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*((a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)/(a*f*(m + 1)
*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*Simp[A*(a^2 - b^2)*(m +
1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {\int \frac {-3 \left (a^2-b^2\right )+3 a b \csc (c+d x)-2 b^2 \csc ^2(c+d x)}{(a+b \csc (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {6 \left (a^2-b^2\right )^2-2 a b \left (6 a^2-b^2\right ) \csc (c+d x)+b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \csc ^2(c+d x)}{(a+b \csc (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))}-\frac {\int \frac {-6 \left (a^2-b^2\right )^3+3 a b \left (6 a^4-2 a^2 b^2+b^4\right ) \csc (c+d x)}{a+b \csc (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {x}{a^4}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))}-\frac {\left (b \left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right )\right ) \int \frac {\csc (c+d x)}{a+b \csc (c+d x)} \, dx}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {x}{a^4}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))}-\frac {\left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \sin (c+d x)}{b}} \, dx}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {x}{a^4}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))}-\frac {\left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {2 a x}{b}+x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {x}{a^4}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))}+\frac {\left (2 \left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{-4 \left (1-\frac {a^2}{b^2}\right )-x^2} \, dx,x,\frac {2 a}{b}+2 \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {x}{a^4}+\frac {b \left (8 a^6-8 a^4 b^2+7 a^2 b^4-2 b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {b \left (\frac {a}{b}+\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{a^4 \left (a^2-b^2\right )^{7/2} d}-\frac {b^2 \cot (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \csc (c+d x))^3}-\frac {b^2 \left (8 a^2-3 b^2\right ) \cot (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \csc (c+d x))^2}-\frac {b^2 \left (26 a^4-17 a^2 b^2+6 b^4\right ) \cot (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \csc (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 5.56 (sec) , antiderivative size = 279, normalized size of antiderivative = 1.17 \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\frac {\csc ^3(c+d x) (b+a \sin (c+d x)) \left (\frac {2 a b^4 \cot (c+d x)}{(-a+b) (a+b)}+\frac {a b^3 \left (12 a^2-7 b^2\right ) \cot (c+d x) (b+a \sin (c+d x))}{(a-b)^2 (a+b)^2}-\frac {a b^2 \left (36 a^4-32 a^2 b^2+11 b^4\right ) \cot (c+d x) (b+a \sin (c+d x))^2}{(a-b)^3 (a+b)^3}+6 (c+d x) \csc (c+d x) (b+a \sin (c+d x))^3-\frac {6 b \left (-8 a^6+8 a^4 b^2-7 a^2 b^4+2 b^6\right ) \arctan \left (\frac {a+b \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right ) \csc (c+d x) (b+a \sin (c+d x))^3}{\left (-a^2+b^2\right )^{7/2}}\right )}{6 a^4 d (a+b \csc (c+d x))^4} \]

[In]

Integrate[(a + b*Csc[c + d*x])^(-4),x]

[Out]

(Csc[c + d*x]^3*(b + a*Sin[c + d*x])*((2*a*b^4*Cot[c + d*x])/((-a + b)*(a + b)) + (a*b^3*(12*a^2 - 7*b^2)*Cot[
c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x]))/((a - b)^2*(a + b)^2) - (a*b^2*(36*a^4 - 32*a^2*b^2 + 11*b^4)*Cot[c + d*x]*(b +
a*Sin[c + d*x])^2)/((a - b)^3*(a + b)^3) + 6*(c + d*x)*Csc[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*x])^3 - (6*b*(-8*a^6 + 8
*a^4*b^2 - 7*a^2*b^4 + 2*b^6)*ArcTan[(a + b*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]]*Csc[c + d*x]*(b + a*Sin[c + d*
x])^3)/(-a^2 + b^2)^(7/2)))/(6*a^4*d*(a + b*Csc[c + d*x])^4)

Maple [B] (verified)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. \(544\) vs. \(2(228)=456\).

Time = 2.09 (sec) , antiderivative size = 545, normalized size of antiderivative = 2.28

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {2 \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{4}}-\frac {2 b \left (\frac {\frac {8 b^{2} a^{2} \left (6 a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a b \left (28 a^{6}-4 a^{4} b^{2}-a^{2} b^{4}+2 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{4}}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a^{2} \left (52 a^{6}+44 a^{4} b^{2}-39 a^{2} b^{4}+18 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{24 a^{6}-72 a^{4} b^{2}+72 a^{2} b^{4}-24 b^{6}}+\frac {8 a b \left (38 a^{6}-19 a^{4} b^{2}+4 a^{2} b^{4}+2 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}}{8 a^{6}-24 a^{4} b^{2}+24 a^{2} b^{4}-8 b^{6}}+\frac {8 \left (46 a^{4}-32 a^{2} b^{2}+11 b^{4}\right ) a^{2} b^{2} \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a \,b^{3} \left (26 a^{4}-17 a^{2} b^{2}+6 b^{4}\right )}{48 a^{6}-144 a^{4} b^{2}+144 a^{2} b^{4}-48 b^{6}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b +2 a \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+b \right )^{3}}+\frac {4 \left (8 a^{6}-8 a^{4} b^{2}+7 a^{2} b^{4}-2 b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {2 b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+2 a}{2 \sqrt {-a^{2}+b^{2}}}\right )}{\left (8 a^{6}-24 a^{4} b^{2}+24 a^{2} b^{4}-8 b^{6}\right ) \sqrt {-a^{2}+b^{2}}}\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(545\)
default	\(\frac {\frac {2 \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{4}}-\frac {2 b \left (\frac {\frac {8 b^{2} a^{2} \left (6 a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a b \left (28 a^{6}-4 a^{4} b^{2}-a^{2} b^{4}+2 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{4}}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a^{2} \left (52 a^{6}+44 a^{4} b^{2}-39 a^{2} b^{4}+18 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{24 a^{6}-72 a^{4} b^{2}+72 a^{2} b^{4}-24 b^{6}}+\frac {8 a b \left (38 a^{6}-19 a^{4} b^{2}+4 a^{2} b^{4}+2 b^{6}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}}{8 a^{6}-24 a^{4} b^{2}+24 a^{2} b^{4}-8 b^{6}}+\frac {8 \left (46 a^{4}-32 a^{2} b^{2}+11 b^{4}\right ) a^{2} b^{2} \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{16 a^{6}-48 a^{4} b^{2}+48 a^{2} b^{4}-16 b^{6}}+\frac {8 a \,b^{3} \left (26 a^{4}-17 a^{2} b^{2}+6 b^{4}\right )}{48 a^{6}-144 a^{4} b^{2}+144 a^{2} b^{4}-48 b^{6}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b +2 a \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+b \right )^{3}}+\frac {4 \left (8 a^{6}-8 a^{4} b^{2}+7 a^{2} b^{4}-2 b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {2 b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+2 a}{2 \sqrt {-a^{2}+b^{2}}}\right )}{\left (8 a^{6}-24 a^{4} b^{2}+24 a^{2} b^{4}-8 b^{6}\right ) \sqrt {-a^{2}+b^{2}}}\right )}{a^{4}}}{d}\)	\(545\)
risch	\(\frac {x}{a^{4}}-\frac {i b^{2} \left (-36 i a^{7}+32 i a^{5} b^{2}-132 i a^{5} b^{2} {\mathrm e}^{4 i \left (d x +c \right )}-204 i a^{3} b^{4} {\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}-48 b \,a^{6} {\mathrm e}^{5 i \left (d x +c \right )}+51 b^{3} a^{4} {\mathrm e}^{5 i \left (d x +c \right )}-18 b^{5} a^{2} {\mathrm e}^{5 i \left (d x +c \right )}+78 i a \,b^{6} {\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}+72 i a^{7} {\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}-11 i a^{3} b^{4}-36 i a^{7} {\mathrm e}^{4 i \left (d x +c \right )}+216 a^{6} b \,{\mathrm e}^{3 i \left (d x +c \right )}-48 a^{4} b^{3} {\mathrm e}^{3 i \left (d x +c \right )}-62 a^{2} b^{5} {\mathrm e}^{3 i \left (d x +c \right )}+44 \,{\mathrm e}^{3 i \left (d x +c \right )} b^{7}+147 i a^{3} b^{4} {\mathrm e}^{4 i \left (d x +c \right )}-54 i a \,b^{6} {\mathrm e}^{4 i \left (d x +c \right )}+204 i a^{5} b^{2} {\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}-168 a^{6} b \,{\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+141 a^{4} b^{3} {\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}-48 a^{2} b^{5} {\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}\right )}{3 \left (-a^{2}+b^{2}\right )^{3} \left (2 b \,{\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}-i a \,{\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}+i a \right )^{3} d \,a^{4}}+\frac {4 b \,a^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}+a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d}-\frac {4 b^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}+a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d}+\frac {7 b^{5} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}+a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{2 \sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d \,a^{2}}-\frac {b^{7} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}+a^{2}-b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d \,a^{4}}-\frac {4 b \,a^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}-a^{2}+b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d}+\frac {4 b^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}-a^{2}+b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d}-\frac {7 b^{5} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}-a^{2}+b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{2 \sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d \,a^{2}}+\frac {b^{7} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (d x +c \right )}+\frac {i b \sqrt {a^{2}-b^{2}}-a^{2}+b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, a}\right )}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}\, \left (a +b \right )^{3} \left (a -b \right )^{3} d \,a^{4}}\)	\(1043\)

[In]

int(1/(a+b*csc(d*x+c))^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/a^4*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))-2/a^4*b*(8*(1/16*b^2*a^2*(6*a^4-2*a^2*b^2+b^4)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-
b^6)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5+1/16*a*b*(28*a^6-4*a^4*b^2-a^2*b^4+2*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)*tan(1/2*d*x+
1/2*c)^4+1/24*a^2*(52*a^6+44*a^4*b^2-39*a^2*b^4+18*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/8
*a*b*(38*a^6-19*a^4*b^2+4*a^2*b^4+2*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+1/16*(46*a^4-32*a^
2*b^2+11*b^4)*a^2*b^2/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)*tan(1/2*d*x+1/2*c)+1/48*a*b^3*(26*a^4-17*a^2*b^2+6*b^4)/(a
^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b+2*a*tan(1/2*d*x+1/2*c)+b)^3+4*(8*a^6-8*a^4*b^2+7*a^2*b^4-
2*b^6)/(8*a^6-24*a^4*b^2+24*a^2*b^4-8*b^6)/(-a^2+b^2)^(1/2)*arctan(1/2*(2*b*tan(1/2*d*x+1/2*c)+2*a)/(-a^2+b^2)
^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 744 vs. \(2 (228) = 456\).

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 1554, normalized size of antiderivative = 6.50 \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(1/(a+b*csc(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(36*(a^10*b - 4*a^8*b^3 + 6*a^6*b^5 - 4*a^4*b^7 + a^2*b^9)*d*x*cos(d*x + c)^2 - 2*(36*a^9*b^2 - 68*a^7*b
^4 + 43*a^5*b^6 - 11*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^3 - 12*(3*a^10*b - 11*a^8*b^3 + 14*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - a^2*b^9 +
b^11)*d*x - 3*(24*a^8*b^2 - 16*a^6*b^4 + 13*a^4*b^6 + a^2*b^8 - 2*b^10 - 3*(8*a^8*b^2 - 8*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6
- 2*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2 + (8*a^9*b + 16*a^7*b^3 - 17*a^5*b^5 + 19*a^3*b^7 - 6*a*b^9 - (8*a^9*b - 8*a^7*b^3
+ 7*a^5*b^5 - 2*a^3*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sin(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*log(((a^2 - 2*b^2)*cos(d*x + c)^2 + 2*
a*b*sin(d*x + c) + a^2 + b^2 + 2*(b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + a*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2))/(a^2*cos(d*x
+ c)^2 - 2*a*b*sin(d*x + c) - a^2 - b^2)) + 12*(6*a^9*b^2 - 7*a^7*b^4 + 2*a^3*b^8 - a*b^10)*cos(d*x + c) + 6*(
2*(a^11 - 4*a^9*b^2 + 6*a^7*b^4 - 4*a^5*b^6 + a^3*b^8)*d*x*cos(d*x + c)^2 - 2*(a^11 - a^9*b^2 - 6*a^7*b^4 + 14
*a^5*b^6 - 11*a^3*b^8 + 3*a*b^10)*d*x + 5*(4*a^8*b^3 - 7*a^6*b^5 + 4*a^4*b^7 - a^2*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x
+ c))/(3*(a^14*b - 4*a^12*b^3 + 6*a^10*b^5 - 4*a^8*b^7 + a^6*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 - (3*a^14*b - 11*a^12*b^3 +
14*a^10*b^5 - 6*a^8*b^7 - a^6*b^9 + a^4*b^11)*d + ((a^15 - 4*a^13*b^2 + 6*a^11*b^4 - 4*a^9*b^6 + a^7*b^8)*d*c
os(d*x + c)^2 - (a^15 - a^13*b^2 - 6*a^11*b^4 + 14*a^9*b^6 - 11*a^7*b^8 + 3*a^5*b^10)*d)*sin(d*x + c)), 1/6*(1
8*(a^10*b - 4*a^8*b^3 + 6*a^6*b^5 - 4*a^4*b^7 + a^2*b^9)*d*x*cos(d*x + c)^2 - (36*a^9*b^2 - 68*a^7*b^4 + 43*a^
5*b^6 - 11*a^3*b^8)*cos(d*x + c)^3 - 6*(3*a^10*b - 11*a^8*b^3 + 14*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - a^2*b^9 + b^11)*d*x -
3*(24*a^8*b^2 - 16*a^6*b^4 + 13*a^4*b^6 + a^2*b^8 - 2*b^10 - 3*(8*a^8*b^2 - 8*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - 2*a^2*b^8
)*cos(d*x + c)^2 + (8*a^9*b + 16*a^7*b^3 - 17*a^5*b^5 + 19*a^3*b^7 - 6*a*b^9 - (8*a^9*b - 8*a^7*b^3 + 7*a^5*b^
5 - 2*a^3*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sin(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*sin(d*x + c) + a)/((
a^2 - b^2)*cos(d*x + c))) + 6*(6*a^9*b^2 - 7*a^7*b^4 + 2*a^3*b^8 - a*b^10)*cos(d*x + c) + 3*(2*(a^11 - 4*a^9*b
^2 + 6*a^7*b^4 - 4*a^5*b^6 + a^3*b^8)*d*x*cos(d*x + c)^2 - 2*(a^11 - a^9*b^2 - 6*a^7*b^4 + 14*a^5*b^6 - 11*a^3
*b^8 + 3*a*b^10)*d*x + 5*(4*a^8*b^3 - 7*a^6*b^5 + 4*a^4*b^7 - a^2*b^9)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/(3*(a^14*b
- 4*a^12*b^3 + 6*a^10*b^5 - 4*a^8*b^7 + a^6*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 - (3*a^14*b - 11*a^12*b^3 + 14*a^10*b^5 - 6*
a^8*b^7 - a^6*b^9 + a^4*b^11)*d + ((a^15 - 4*a^13*b^2 + 6*a^11*b^4 - 4*a^9*b^6 + a^7*b^8)*d*cos(d*x + c)^2 - (
a^15 - a^13*b^2 - 6*a^11*b^4 + 14*a^9*b^6 - 11*a^7*b^8 + 3*a^5*b^10)*d)*sin(d*x + c))]

Sympy [F]

\[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\int \frac {1}{\left (a + b \csc {\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate(1/(a+b*csc(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((a + b*csc(c + d*x))**(-4), x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(1/(a+b*csc(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 535 vs. \(2 (228) = 456\).

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 535, normalized size of antiderivative = 2.24 \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\frac {3 \, {\left (8 \, a^{6} b - 8 \, a^{4} b^{3} + 7 \, a^{2} b^{5} - 2 \, b^{7}\right )} {\left (\pi \left \lfloor \frac {d x + c}{2 \, \pi } + \frac {1}{2} \right \rfloor \mathrm {sgn}\left (b\right ) + \arctan \left (\frac {b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + a}{\sqrt {-a^{2} + b^{2}}}\right )\right )}}{{\left (a^{10} - 3 \, a^{8} b^{2} + 3 \, a^{6} b^{4} - a^{4} b^{6}\right )} \sqrt {-a^{2} + b^{2}}} + \frac {18 \, a^{5} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} - 6 \, a^{3} b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} + 3 \, a b^{7} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{5} + 84 \, a^{6} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{4} - 12 \, a^{4} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{4} - 3 \, a^{2} b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{4} + 6 \, b^{8} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{4} + 104 \, a^{7} b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 88 \, a^{5} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} - 78 \, a^{3} b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 36 \, a b^{7} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{3} + 228 \, a^{6} b^{2} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} - 114 \, a^{4} b^{4} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 24 \, a^{2} b^{6} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 12 \, b^{8} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 138 \, a^{5} b^{3} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) - 96 \, a^{3} b^{5} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 33 \, a b^{7} \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + 26 \, a^{4} b^{4} - 17 \, a^{2} b^{6} + 6 \, b^{8}}{{\left (a^{9} - 3 \, a^{7} b^{2} + 3 \, a^{5} b^{4} - a^{3} b^{6}\right )} {\left (b \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right )^{2} + 2 \, a \tan \left (\frac {1}{2} \, d x + \frac {1}{2} \, c\right ) + b\right )}^{3}} - \frac {3 \, {\left (d x + c\right )}}{a^{4}}}{3 \, d} \]

[In]

integrate(1/(a+b*csc(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/3*(3*(8*a^6*b - 8*a^4*b^3 + 7*a^2*b^5 - 2*b^7)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(b) + arctan((b*tan(1/2
*d*x + 1/2*c) + a)/sqrt(-a^2 + b^2)))/((a^10 - 3*a^8*b^2 + 3*a^6*b^4 - a^4*b^6)*sqrt(-a^2 + b^2)) + (18*a^5*b^
3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*a*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 84*a^6*b^2*tan(
1/2*d*x + 1/2*c)^4 - 12*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - 3*a^2*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 6*b^8*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^4 + 104*a^7*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 88*a^5*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 78*a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^3 + 36*a*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 228*a^6*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - 114*a^4*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2
*c)^2 + 24*a^2*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 12*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 138*a^5*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) -
96*a^3*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 33*a*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 26*a^4*b^4 - 17*a^2*b^6 + 6*b^8)/((a^9 - 3*
a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 - a^3*b^6)*(b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 2*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + b)^3) - 3*(d*x + c)/a^4)
/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 32.00 (sec) , antiderivative size = 8167, normalized size of antiderivative = 34.17 \[ \int \frac {1}{(a+b \csc (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(1/(a + b/sin(c + d*x))^4,x)

[Out]

(2*atan((((8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(
a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) - (((8*(4*a^20*b + 2*a^8
*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10
+ 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) - (((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80
*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^
6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11
+ 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20
*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b
^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8
- 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^1
3 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 +
15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))/a^4 + ((((((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^
10 - 80*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*
a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^1
5*b^11 + 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b
^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9
- 30*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a
^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*
a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b
^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^
4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a^13*
b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))/a
^4)/((16*(2*b^13 - 11*a^2*b^11 + 34*a^4*b^9 - 66*a^6*b^7 + 64*a^8*b^5 - 48*a^10*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^1
0*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) - (((8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60*a^7*b^10
- 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14
*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) - (((8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^7 + 20
*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^
2) - (((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2))/
(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11 + 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*a^2
3*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*t
an(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32
*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 +
(8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a
^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2
))*1i)/a^4 + (((((((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4
*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/
2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11 + 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*
b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i
)/a^4 + (8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^
20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8
*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 +
a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (8*(4*a^3*b^14 - 24*
a^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10
+ 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^
5*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b
^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*1i)/a^4 + (16*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*b^14 - 52*a^2
*b^12 + 140*a^4*b^10 - 220*a^6*b^8 + 220*a^8*b^6 - 128*a^10*b^4 + 32*a^12*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10
+ 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))))/(a^4*d) - ((6*b^8 - 17*a^2*b^6 + 26*a^4*b^4)/(3*a^
3*(a^6 - b^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(11*b^7 - 32*a^2*b^5 + 46*a^4*b^3))/(a^2*(a^6 - b
^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(2*b^8 - a^2*b^6 - 4*a^4*b^4 + 28*a^6*b^2))/(a^3*(a^6 - b
^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(2*b^8 + 4*a^2*b^6 - 19*a^4*b^4 + 38*a^6*b^2))/(a^3*(a^
6 - b^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(2*a^2 + 3*b^2)*(26*a^4*b + 6*b^5 - 17*a^2*b^3))/(
3*a^2*(a^6 - b^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)) + (b^3*tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(6*a^4 + b^4 - 2*a^2*b^2))/(a^2*(a^6 -
b^6 + 3*a^2*b^4 - 3*a^4*b^2)))/(d*(b^3*tan(c/2 + (d*x)/2)^6 + tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(12*a*b^2 + 8*a^3) + tan(c/
2 + (d*x)/2)^2*(12*a^2*b + 3*b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(12*a^2*b + 3*b^3) + b^3 + 6*a*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)
+ 6*a*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)^5)) + (b*atan(((b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60
*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8
- 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^13 - 189*
a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13
*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2) - (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 1
4*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12
*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b
^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8
- 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2) - (b*((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80*a^17*b^8 +
60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*
b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11 + 340*a^17*b
^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 +
15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4
*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*
a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4
- 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 +
35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)) + (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^3*b^14 - 24*a
^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 +
15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5
*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7 + 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^
10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2) + (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^20*b + 2*
a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^
10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12
+ 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 +
15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2) + (b*((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80
*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^
6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11
+ 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20
*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2
*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6
- 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 +
21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21
*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))/((16*(2*b^13 - 11*a^2*b^11 + 34*a^4*b^9 -
66*a^6*b^7 + 64*a^8*b^5 - 48*a^10*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b
^4 - 6*a^18*b^2) + (16*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*b^14 - 52*a^2*b^12 + 140*a^4*b^10 - 220*a^6*b^8 + 220*a^8*b^6 - 1
28*a^10*b^4 + 32*a^12*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*
b^2) - (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a^11*b^6 -
24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*
b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*a^11*b^7
+ 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a
^19*b^2) - (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 30*a^14*b^
7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a
^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16*b^6 - 12
8*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b
^2) - (b*((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4*a^23*b^2
))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)
/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11 + 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*b^5 - 80*
a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*((a + b)^7*
(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*
a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b
^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^
2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 -
7*a^16*b^2)) + (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^3*b^14 - 24*a^5*b^12 + 60*a^7*b^10 - 80*a^9*b^8 + 60*a
^11*b^6 - 24*a^13*b^4 + 4*a^15*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4
- 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^17*b - 8*a^3*b^15 + 60*a^5*b^13 - 189*a^7*b^11 + 344*a^9*b^9 - 396*
a^11*b^7 + 272*a^13*b^5 - 116*a^15*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*
b^4 - 6*a^19*b^2) + (b*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((8*(4*a^20*b + 2*a^8*b^13 - 14*a^10*b^11 + 30*a^12*b^9 - 3
0*a^14*b^7 + 20*a^16*b^5 - 12*a^18*b^3))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*
b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(8*a^8*b^14 - 52*a^10*b^12 + 140*a^12*b^10 - 220*a^14*b^8 + 220*a^16
*b^6 - 128*a^18*b^4 + 32*a^20*b^2))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 -
6*a^19*b^2) + (b*((8*(4*a^11*b^14 - 24*a^13*b^12 + 60*a^15*b^10 - 80*a^17*b^8 + 60*a^19*b^6 - 24*a^21*b^4 + 4
*a^23*b^2))/(a^20 + a^8*b^12 - 6*a^10*b^10 + 15*a^12*b^8 - 20*a^14*b^6 + 15*a^16*b^4 - 6*a^18*b^2) + (8*tan(c/
2 + (d*x)/2)*(12*a^25*b - 8*a^11*b^15 + 60*a^13*b^13 - 192*a^15*b^11 + 340*a^17*b^9 - 360*a^19*b^7 + 228*a^21*
b^5 - 80*a^23*b^3))/(a^21 + a^9*b^12 - 6*a^11*b^10 + 15*a^13*b^8 - 20*a^15*b^6 + 15*a^17*b^4 - 6*a^19*b^2))*((
a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b
^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^1
8 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2)))*(8*a^6 - 2*b
^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2))/(2*(a^18 - a^4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a
^14*b^4 - 7*a^16*b^2))))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*a^6 - 2*b^6 + 7*a^2*b^4 - 8*a^4*b^2)*1i)/(d*(a^18 - a^
4*b^14 + 7*a^6*b^12 - 21*a^8*b^10 + 35*a^10*b^8 - 35*a^12*b^6 + 21*a^14*b^4 - 7*a^16*b^2))